Θεμελιώδεις Ιδιότητες των Ακεραίων
Έχουμε ήδη δει ότι οι ακέραιοι υπακούουν στην αρχή ελαχίστου: Κάθε υποσύνολο του $\mathbb{N}$ έχει ένα ελάχιστο στοιχείο.
Αυτήν την ιδιότητα την παίρνουμε δεδομένη (σαν αξίωμα) και άρα δεν την αποδεικνύουμε.
Τώρα θα αποδείξουμε δύο άλλες πολύ βασικές και χρήσιμες ιδιότητες των ακέραιων:
- Το $\mathbb{N}$ δεν είναι άνω φραγμένο.
- Κάθε πραγματικός αριθμός $\alpha$ "πλαισιώνεται" από ακέραιους, ως εξής: Υπάρχει κάποιος ακέραιος $n$ τέτοιος ώστε $n \leq \alpha < n+1$.
To $\mathbb{N}$ δεν είναι άνω φραγμένο
Πώς μπορούμε να αποδείξουμε ότι το $\mathbb{N}$ δεν είναι άνω φραγμένο;
Αρχικά δεν έχουμε τίποτα πέρα από το $\mathbb{N}$ με το οποίο να δουλέψουμε.
Ο μόνος τρόπος να προχωρήσουμε είναι να στραφούμε στην απαγωγή σε άτοπο.
Υποθέτουμε ότι το $\mathbb{N}$ έχει ένα άνω φράγμα.
Προσπάθεια
Θα θέλαμε να δείξουμε ότι υπάρχει κάποιος ακέραιος που είναι μεγαλύτερος από αυτό το άνω φράγμα.
→ Άτοπο
Για να το κάνουμε αυτό, θα ξεκινούσαμε από κάποιον ακέραιο και θα προχωρούσαμε στους επόμενους ακέραιους, μέχρι να ξεπεράσουμε το άνω φράγμα.
Και έτσι θα καταλήγαμε σε έναν ακέραιο που είναι μεγαλύτερος από το άνω φράγμα του $\mathbb{N}$, που είναι άτοπο.
Βελτίωση
Ωστόσο, αυτό είναι κάπως δύσκολο να το κάνουμε, γιατί δεν ξέρουμε την απόσταση μεταξύ του ακέραιου από τον οποίο ξεκινάμε και του άνω φράγματος που θέλουμε να ξεπεράσουμε.
Με άλλα λόγια, δεν ξέρουμε πόσα βήματα πρέπει να κάνουμε για να προσπεράσουμε το άνω φράγμα.
Ένας πιο απλός τρόπος, είναι να προσπεράσουμε κάποιο πιο κοντινό άνω φράγμα.
Και το άνω φράγμα που είναι πιο κοντά στα στοιχεία του συνόλου είναι το supremum!
Επομένως, το νέο σχέδιό μας για την απόδειξη είναι να θεωρήσουμε το supremum, μετά να βρούμε έναν ακέραιο που είναι πολύ κοντά στο supremum.
Προσθέτοντας +1 σε αυτόν τον ακέραιο, θα βρούμε έναν άλλο ακέραιο που θα είναι πάνω από το supremum.
Αυστηροποίηση
Ας δούμε το τελευταίο βήμα λίγο πιο προσεκτικά:
Ο χαρακτηρισμός του supremum μπορεί να μας δώσει έναν ακέραιο που είναι όσο κοντά θέλουμε στο supremum (συγκεκριμένα, $\epsilon$-κοντά).
Ποιο $\epsilon$ πρέπει να επιλέξουμε;
Αν επιλέξουμε $\epsilon = 1$, αυτό αρκεί!
Όπου και να βρίσκεται ο ακέραιος $n$ που μας δίνει ο χαρακτηρισμός, το $n+1$ θα είναι μεγαλύτερο από το supremum!
Ακέραιο Μέρος
Στη συνέχεια, θέλουμε να αποδείξουμε ότι κάθε πραγματικός αριθμός $x$ πλαισιώνεται από δύο διαδοχικούς ακέραιους:
Υπάρχει κάποιος ακέραιος $n$ τέτοιος ώστε $n \leq x < n+1$.
Ο $n$ είναι ο ακέραιος που προκύπτει αν αγνοήσουμε τα δεκαδικά ψηφία του $x$ και κρατήσουμε μόνο ό,τι υπάρχει πριν την υποδιαστολή.
Γι' αυτόν τον λόγο, ο $n$ λέγεται το ακέραιο μέρος του $x$.
Πώς αποδεικνύουμε την ύπαρξη
Μια προσέγγιση για να αιτιολογήσουμε αυτήν την "πλαισίωση" του $x$ από ακέραιους είναι ο εξής:
Να ξεκινήσουμε από κάποιον ακέραιο που είναι μεγαλύτερος από τον $x$ και να κινηθούμε προς τα αριστερά, μέχρι να βρούμε τον μικρότερο ακέραιο που υπερβαίνει το $x$.
Τότε ο $n-1$ θα είναι το ακέραιο μέρος του $x$. ? Γιατί ο $n-1$ θα είναι μικρότερος από τον $x$;
Αυστηροποίηση
Θέλουμε να θεωρήσουμε λοιπόν το σύνολο των ακεραίων που είναι μεγαλύτεροι από το $x$.
Χρησιμοποιώντας την αρχή ελαχίστου, μπορούμε να αποδείξουμε ότι το σύνολο έχει ελάχιστο στοιχείο, αρκεί να μην είναι κενό! i Η απόδειξη αυτή γίνεται ξεχωριστά σε ένα Λήμμα.
Το ελάχιστο στοιχείο το ονομάζουμε $n$.
Τότε το $n-1$ είναι μικρότερο ή ίσο του $x$, αφού δεν ανήκει στο σύνολο. ? Γιατί δεν ανήκει στο σύνολο;
Έτσι, έχουμε ότι $n-1 \leq x < n = (n-1)+1$ και άρα το $n-1$ είναι το ακέραιο μέρος του $x$.